Os esforços combinados são uma condição comum em estruturas e materiais submetidos a múltiplos tipos de carregamento, como tração, compressão, flexão e torção. A análise dos esforços combinados envolve o uso de conceitos de tensões, deformações e critérios de falha, garantindo a segurança e a integridade das estruturas. O conceito base está ligado o tensões de tensão e deformação do material e o conceito de tensão principal derivada do conceito de autovalor.

Autovalor e Autovetor

Em mecânica dos sólidos, o tensor de tensão e o tensor de deformação são representados por matrizes que revelam suas propriedades fundamentais através de autovalores e autovetores.

• Autovalor: Representa as tensões principais ou deformações principais em um material, indicando os valores das tensões que atuam em direções específicas.
• Autovetor: Relaciona-se às direções principais nas quais as tensões ou deformações ocorrem, ou seja, as orientações em que os efeitos de cisalhamento são nulos.

Montagem do Tensor de Tensão 3D

O tensor de tensão em 3D é expresso como:

\[ \sigma = \begin{pmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{pmatrix} \]

Onde:

\(\sigma_x , \sigma_x , \sigma_x \), são as tensões normais.

\(\sigma_{xy} , \sigma_{yz} , \sigma_{xz} \), são as tensões de cisalhamento

Cálculo dos Invariantes

Os invariantes do tensor são definidos como:

• Primeiro Invariante (I₁):

  \( I_1 = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z \)

• Segundo Invariante (I₂):

  \( I_2 = \sigma_x \sigma_y + \sigma_y \sigma_z + \sigma_z \sigma_x - \tau_{xy}^2 - \tau_{yz}^2 - \tau_{zx}^2 \)

• Terceiro Invariante (I₃):

  \( I_3 = \text{det}(\sigma) \)

Cálculo das Tensões e Deformações Principais

As tensões principais (σ₁, σ₂, σ₃) e as deformações principais (ε₁, ε₂, ε₃) são obtidas a partir dos tensores de tensão e deformação. O cálculo é feito resolvendo a equação característica associada ao tensor:

\( \text{det}(\sigma - \lambda I) = 0 \)

A matriz Λ é uma matriz diagonal que contém os autovalores (tensões principais):

\[ \Lambda = \begin{pmatrix} \sigma_1 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_2 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_3 \end{pmatrix} \]

Cálculo da Tensão Equivalente

A tensão equivalente (σ_eq) simplifica a análise de tensões complexas. A fórmula de Von Mises é:

\( \sigma_{eq} = \sqrt{\sigma_1^2 - \sigma_1\sigma_2 + \sigma_2^2 - \sigma_2\sigma_3 + \sigma_3^2 - \sigma_1\sigma_3} \)

Critérios de Falha

Os critérios de falha são essenciais para a análise de tensões em materiais submetidos a esforços combinados. Os critérios de Tresca e Von Mises são os mais usados na engenharia para prever a falha de materiais. Abaixo estão as descrições destes critérios, juntamente com suas respectivas equações de tensão.

Critério de Tresca

O critério de Tresca baseia-se na tensão de cisalhamento máxima. De acordo com esse critério, a falha ocorre quando a tensão de cisalhamento máxima (τ_max) atinge um valor crítico.

A tensão de cisalhamento máxima é dada por:

\( \tau_{max} = \frac{1}{2} (\sigma_1 - \sigma_3) \)

Em termos das tensões do tensor, podemos considerar:

\( \tau_{max} = \frac{1}{2} (\sigma_{x} - \sigma_{z}) \)

ou

\( \tau_{max} = \frac{1}{2} (\sigma_{y} - \sigma_{z}) \)

O critério de falha de Tresca é então expresso como:

\( \tau_{max} \leq \tau_{adm} \)

Critério de Von Mises

O critério de Von Mises considera a energia de distorção. A falha ocorre quando a tensão equivalente de Von Mises (σ_eq) excede a tensão de escoamento do material.

A tensão equivalente de Von Mises é dada por:

\[ \sigma_{eq} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_{x} - \sigma_{y})^2 + (\sigma_{y} - \sigma_{z})^2 + (\sigma_{z} - \sigma_{x})^2 + 6 (\tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2) \right]} \]

Este critério assegura que a tensão equivalente não ultrapasse a tensão de escoamento do material:

\( \sigma_{eq} \leq \sigma_{adm} \)